Maths

அறிவியலையும் தொழில் நுட்பத்தினையும் தொழிலாக கொண்டு ஒரு நாட்டின் முடிசூடா மன்னனாக வாழ்ந்த கணித சக்ரவர்த்தி ஆர்க்கிமிடீஸ் ஆவர்.ஒருநாட்டின் மீது படையெடுக்கும் போது அந்நாட்டின் முக்கியமான பொருட்களை கவர்ந்து செல்வார்கள் , புனிதமான பொருட்களை விட்டு விடுவார்கள். அப்படி ஒரு அதிசிய பொருளாக வாழ்ந்த அறிவியல் மேதை ஆர்க்கிமிடீஸ் ஆர்க்கிமிடிஸ் ஆவர். ரோமநாட்டு படைகள் கிரேக்கத்தின் மீது படையெடுக்கும் போது அவர் ரோமநாட்டு தளபதி கூறியது என்னவென்றால், கிரேக்கத்தில் ஆர்க்கிமிடீசினை மட்டும் உயிருடன் கொண்டு வாருங்கள் அவர் நமக்கு தேவை என்று கூறினான். அத்தகு உயரிய உயிர் பொருளாக பார்க்கப்பட்டவர் கணித மேதை ஆர்க்கிமிடிஸ். அவர் ஒருவரே ஒரு ராணுவ படைக்கு சமமானவர். அறிவு ஆணவம் இருப்பது இயற்கை தானே.
எரடோஸ்தீனஸ் தலைமையிலான அலெக்ஸாண்டிரிய கணிதவியலாளர்களுக்கு ஆர்க்கிமிடீஸ் ஒரு கணித சவாலை விடுத்தார். அது ஒரு எபிகிராம் என்று சொல்லக்கூடிய சிறிய அளவிலான சிக்கலான திறமையான கவிதை வரிகளாக காணப்பட்டது.

“ஓ நண்பரே,
சூரியக் கடவுளிடமுள்ள மாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்,
அதற்கு உங்கள் மனதைக் கொடுங்கள்,
உங்களுக்கு ஞானத்தின் பங்கு இருந்தால்.”
என்பதாகும் .

சூரியக் கடவுளிடம் காளைகள் மற்றும் பசுக்கள் அடங்கிய கால்நடைகள் தொகுப்பு இருந்தது.
அதில் ஒரு பகுதி வெள்ளை(W), இரண்டாவது கருப்பு,
மூன்றாவது புள்ளி களுடையது (D) மற்றும் நான்காவது மஞ்சள் (Y) ஆகும்

W என்பது வெள்ளை நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கையையும்,
w வெள்ளை நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கையையும்,
B கருப்பு நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கையையும்,
b கருப்பு நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கையையும்,
Y என்பது மஞ்சள் நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கையையும்,
y என்பது மஞ்சள் நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கையையும்,
D என்பது புள்ளிகளுடைய காளைகளின் எண்ணிக்கையையும்,
d என்பது புள்ளிகளுடைய பசுக்களின் எண்ணிக்கையையும் குறிக்கின்றன என எடுத்துக்கொள்வோம்.
வெள்ளை நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கையானது
மஞ்சள் நிறத்தை கொண்ட காளைகளின் எண்ணிக்கையுடன் கருப்பு நிறத்தை கொண்ட காளைகளின் எண்ணிக்கையில் ஒரு பாதி மற்றும் மூன்றில் ஒரு பங்கு கொண்டதாகும்
அதாவது W = (1/2 + 1/3)B + Y

கருப்பு நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கையானது,
மஞ்சள் நிறத்தை கொண்ட காளைகளின் எண்ணிக்கையுடன் புள்ளிகள் கொண்ட காளைகளின் எண்ணிக்கையில் கால் பகுதி மற்றும் ஐந்தில் ஒரு பங்கு கொண்டதாகும்.
அதாவது B = (1/4 + 1/5)D + Y

புள்ளிகளுடைய காளைகளின் எண்ணிக்கையானது,
மஞ்சள் நிறத்தை கொண்ட காளைகளின் எண்ணிக்கையுடன் விட வெள்ளை நிறத்தை கொண்ட காளைகளின் எண்ணிக்கையில் ஆறில் ஒன்று மற்றும் ஏழில் ஒரு பங்கு கொண்டதாகும்.
அதாவது D = (1/6 + 1/7)W + Y
வெள்ளை நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கையானது
கருப்பு நிறமுள்ள கால்நடைகளில் மொத்தத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு மற்றும் நான்கில் ஒரு பங்கு கொண்டதாகும்
அதாவது W = (1/3 + 1/4)(B + b)
கறுப்பு நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கையானது
புள்ளிகள் உள்ள கால்நடைகளின் மொத்தத்தில் நான்கில் ஒரு பங்கு மற்றும் ஐந்தில் ஒரு பங்கு கொண்டதாகும்
அதாவது b = (1/4 + 1/5)(D + d)
புள்ளிகளுடைய பசுக்களின் எண்ணிக்கையானது
மஞ்சள் நிறமுள்ள கால்நடைகளின் மொத்தத்தில் ஐந்தில் ஒரு பங்கு மற்றும் ஆறில் ஒரு பங்கு கொண்டதாகும்
அதாவது d = (1/5 + 1/6)(Y + y)
மஞ்சள் நிற பசுக்களின் எண்ணிக்கையானது,
வெள்ளை நிறமுள்ள கால்நடைகளின் மொத்தத்தில் ஆறில் ஒரு பங்கு மற்றும் ஏழில் ஒரு பங்கு; கொண்டதாகும்
அதாவது y = (1/6 + 1/7)(W + w)
மேலும் வெள்ளை மற்றும் கருப்பு காளைகளின் எண்ணிக்கை ஒரு சதுர எண் (Square number) என்றும்
அதாவது W + B = சதுர எண்
மஞ்சள் மற்றும் புள்ளிகளுடைய பசுக்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முக்கோண எண்(triangular number) என்றும்
அதாவது Y + D = முக்கோண எண்
ஒரு நெருக்கடி கொடுத்தார்.

இப்படியிருக்க சூரியக்கடவுளிடம் உள்ள மாடுகளின் எண்ணிக்கை என்ன? அதில் எவ்வளவு களைகளும் எவ்வளவு பசுக்களும் உள்ளன என்று கேட்டார்.
நிறங்களையும் எண்ணிக்கையும் வைத்து குழப்பி அனைவரையும் அலற விட்டார்.
இவற்றினை கீழ்கண்ட வடிவில் கணித சமன்பாட்டு தொகுப்பாக எழுதலாம்
(1) W = (1/2 + 1/3)B + Y
(2) B = (1/4 + 1/5)D + Y
(3) D = (1/6 + 1/7)W + Y
(4) w = (1/3 + 1/4)(B + b)
(5) b = (1/4 + 1/5)(D + d)
(6) d = (1/5 + 1/6)(Y + y)
(7) y = (1/6 + 1/7)(W + w)
(8) W + B = சதுர எண்
(9) Y + D = முக்கோண எண்
இந்த சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதென்பது மிகவும் கடினமான ஓன்று .மேலும் இச் சமன்பாடுகள் ஒன்றிற்கு மேற்பட்ட தீர்வுகளை கொண்டதாக காணப்படுகின்றன.
பல்லாண்டுகளாக தீர்க்கப்படாத இக்கணக்கின் தீர்வினை
1880 ஆம் ஆண்டில், அம்தர் என்ற ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஆர்க்கிமிடிஸ் மந்தையின் மொத்த கால்நடைகளின் எண்ணிக்கை 7766 இல் தொடங்கி 206,545 இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு எண்ணாக இருக்க வேண்டும் என்பதைக் காட்டினார்.
1965 ஆம் ஆண்டில், கனடாவில் உள்ள வாட்டர்லூ பல்கலைக்கழகத்தில் H. C. வில்லியம்ஸ், R. A. ஜெர்மன், மற்றும் C. R. Zarnke ஆகியோர் IBM 7040 கணினியைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்க்க ஒரு முறை பயன்படுத்தினார்கள். இறுதி தீர்வு 42 தாள்கள் பிரிண்ட்-அவுட்டை ஆக்கிரமித்தது.
1981 ஆம் ஆண்டில், ஹாரி நெல்சன் க்ரே-1 ஐப் பயன்படுத்தி கணக்கீட்டை மீண்டும் செய்தார். இந்த இயந்திரம் பதிலைக் கண்டுபிடிக்க வெறும் 10 நிமிடங்கள் எடுத்தது. ஒரே இதழ்ப் பக்கத்தில் 12 பக்கங்கள் பிரிண்ட்-அவுட்டுக்குக் குறைக்கப்பட்டது, தீர்வு ஜர்னல் ஆஃப் ரிக்ரேஷனல் மேதமேடிக்ஸ் 13 (1981), பக்.162-176 இல் வெளியிடப்பட்டது.

நிறைய தீர்வுகள் பெறப்பட்டாலும் இப்புதிருக்கு கிடைக்கும் மிகக்குறைந்த தீர்வானது கீழ்கண்டவாறு பெறப்பட்டது.
W = 10,366,482 = வெள்ளை நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கை
B = 7,460,514 = கருப்பு நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கை
Y = 4,149,387 = மஞ்சள் நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கை
D = 7,358,060 = புள்ளிகளுடைய நிறக் காளைகளின் எண்ணிக்கை
w = 7,206,360 = வெள்ளை நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கை
b = 4,893,246 = கருப்பு நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கை
y = 5,439,213 = மஞ்சள் நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கை
d = 3,515,820 = புள்ளிகளுடைய நிறப் பசுக்களின் எண்ணிக்கைமேற்கண்ட மிகச்சிறிய மாடுகளின் மந்தையானது 50,389,082 கால்நடைகளைக் கொண்டுள்ளது. சுமார் 2,000 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு ஒரு கணினி இறுதியாக தீர்வைக் கண்டறிந்துள்ளது. இப்போது ஆர்க்கிமிடிஸ் இருந்திருந்தால் , தனது புதிருக்கு ஒரு இயந்திரம் பதில் சொல்லியுள்ளது என்று சிரித்திருப்பார் . ஆக ஆர்க்கிமிடிஸ் சிரிக்க 2,000 ஆண்டுகள் ஆகிவிட்டது.

துணை நூல்கள்
https://mathworld.wolfram.com/ArchimedesCattleProblem.html#:~:text=Among%20the%20bulls%2C%20the%20number,white%20greater%20than%20the%20brown.
https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes%27s_cattle_problem
https://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_02_04.html
தொடர்புக்கு [email protected]