உலகில் ஒவ்வொன்றிக்கும் இன்னொன்று என்று மாற்று ஒன்று உண்டு. ஒரு கோட்பாட்டினை மற்றொரு கோட்பாடு மறுப்பதால் தான் கோட்பாடுகளின் உறுதித்தன்மைகள் நிலைநிறுத்தப்படுகின்றன. உண்மையாக நிகழ்கின்ற இயற்பியல், வேதியியல் மாற்றங்களை மெய்மையியல் (LOGICAL) கோட்பாடுகள் பெரும்பாலும் ஓரம் கட்டி விவாதிக்கின்றன.
ஆனால் இந்த மெய்மையியல் கோட்பாடுகள் தான் இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் கோட்பாடுகள் நிலைத்து நிற்க அறிவுரைகள் வழங்குகின்றன என்றால் அது மிகையாகாது.
20 வயது மதிக்கத்தக்க , நல்ல உடல் நலமிக்க ஒருவர் ஒரு செங்கல்லை எடுக்கின்றார் . அவர் அதனை எந்த தடையும் இல்லாதபோது ஒரு 5 அடி தூரத்தில் கொண்டு சென்று வைக்கின்றார் என்று வைத்துக்கொள்வோம் . இந்த இயற்பியல் மாற்றத்தினை அவர் செய்தே தீருவார் என்பது தான் உண்மை.
ஆனால் கணிதத்தின் வாயியலாக மெய்மையியல்(LOGICAL) என்ற கருத்துக் கொண்டு இச்செயலை அவரால் செய்யமுடியாது என்று நிரூபிக்க இயலும். அப்படி நிரூபித்தாலும் ,அந்த மெய்மையியல்(LOGICAL) கோட்பாடு தவறான பதிலை கொடுத்தாலும் அதன் சிந்தனைகள் மனிதனின் அறிவினை பெருக்க துணை புரிகின்றன .
நீங்கள் எடுப்பதில் பாதி சாப்பிடவேண்டும் என்ற ஒப்பந்தப்படி, ஒரு சப்பாத்தியினை சாப்பிடுகின்றீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
உங்களிடம் ஒரு சப்பாத்தி கொடுக்கப்படுகின்றது.
ஒப்பந்தப்படி, முதலில் 1 சப்பாத்தியில் பாதியினை சாப்பிட்டு விடுகின்றீகள். தற்போது, நீங்கள் சாப்பிட்ட சப்பாத்தியின் அளவு 1/2 ஆகும். பிறகு அந்த பாதியில்(1/2) உள்ள சப்பாத்தியின் அளவில் பாதியினை(1/4) சாப்பிடுகின்றீகள்.
அதாவது தற்போது நீங்கள் சாப்பிட்ட சப்பாத்தியின் அளவு 1/4 ஆகும். ஆகவே நீங்கள் தற்போது சாப்பிட்ட மொத்த சப்பாத்தியின் அளவு
1/2 +1/4
பிறகு அந்த மீதியில் (1/4) உள்ள சப்பாத்தியின் அளவில் பாதியினை (1/8)சாப்பிடுகின்றீகள். அதாவது தற்போது நீங்கள் சாப்பிட்ட சப்பாத்தியின் அளவு 1/8 ஆகும் .
ஆகவே தற்போது நீங்கள் சாப்பிட்ட மொத்த சப்பாத்தியின் அளவு
1/2 +1/4+1/8
அடுத்து அந்த மீதியில் (1/8) உள்ள சப்பாத்தியின் அளவில் பாதியினை சாப்பிடுகின்றீகள். அதாவது தற்போது நீங்கள் சாப்பிட்ட சப்பாத்தியின் அளவு 1/16 ஆகும். ஆகவே தற்போது நீங்கள் சாப்பிட்ட மொத்த சப்பாத்தியின் அளவு
(1/2 )+(1/4)+(1/8) +(1/16)
ஆகவே நீங்கள் சாப்பிடும் சப்பாத்தியின் அளவுகளை கணிதத்தொடர் தொகுப்பாக
(1/2 )+(1/4)+(1/8) +(1/16)+… என்றவாறு எழுதலாம்
இப்படியே நீங்கள் ஒரு சப்பாத்தியினை சாப்பிட்டு கொண்டிருக்கின்றீர்கள். எப்படியும் நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தில் அந்த ஒரு சப்பாத்தியினை சாப்பிட்டுத்தான் ஆக வேண்டும். இதுதான் உண்மை .
எனவே 1/2 +1/4+1/8+1/16+…… என்ற கணிதத்தொடர் தொகுப்பின்
கூடுதல் 1 .
1/2 +1/4+1/8+1/16+………..=1
ஏனென்றால் 1/2 , 1/4, 1/8, 1/16 ..
இவைகள் ஒரு சப்பாத்தியின் சிறிய துண்டுகள் தானே. ஒரு சப்பாத்தியின் அனைத்து துண்டுகளையும் சேர்த்தால் ஒரு சப்பாத்தி தான் வரும். ஆனால் நான் உங்களை குழப்ப அல்லது தெளிவாக்க கணிதத்தில் மெய்மை என்ற ஆயத்தத்தினை எடுக்கிறேன்.
1/2 +1/4+1/8+1/16+… என்ற வகையில் நீங்கள் சப்பாத்தியினை சாப்பிட்டால் நீங்கள் அந்த ஒரு சப்பாத்தியினை சாப்பிட்டிருக்கவே மாட்டீர்கள் என்று நிரூபிக்க தொடங்குகிறேன். எடுப்பதில் பாதி சாப்பிடவேண்டும் என்ற கோட்பாட்டின் படி ஒரு சப்பாத்தியில் முதலில் பாதியினை சாப்பிட்டுகின்றீகள்.
பிறகு அந்தப் பாதியில் பாதியினை சாப்பிட்டுகின்றீகள். பிறகு அந்தப் பாதியில் பாதியினை சாப்பிட்டுகின்றீகள். இப்படியே போனால் பாதி, பாதி என மிக மிகக் குறைவான ஒன்று இருந்து கொண்டே தான் இருக்கும். அப்படியிருக்க நீங்கள் ஒரு முழு சப்பாத்தியினை ஒரு போதும் சாப்பிட்டு முடிக்க முடியாது என்பதே மெய்மையான ஒன்றாகும்.
கிரேக்கத் தத்துவஞானியான ஜீனோ ஆப் இலியா ( கி. மு. 490 – 430 ) வின் புதிர்த் தத்துவமும் இதனைத்தான் சொல்லுகின்றது. ஜீனோ ஆப் இலியா வின் அகிலஸ் ஆமை முரணுரையை எடுத்துக்கொள்வோம்.
இதில் வரும் கதாபாத்திரங்கள் அழகும் நல்ல உடல்வாகும் உள்ள கிரேக்கத் தடகளவீரர் அகிலஸ். அளவில் சிறியது ஆற்றலில் பெரியதான ஆமை.
ஆற்றல் மிக்க ஆமையானது வலிமை மிக்க போர்வீரனான அகிலசினை ஓட்ட பந்தைய போட்டிக்கு அழைத்தது.
அகிலசுடன் ஆமையானது ஒரு ஒப்பந்தம் போட்டது. நான் ஒரு ஓடுதளத்தில் பாதி தூரம் சென்றவுடன், நீங்கள் ஓடத்தொடங்கலாம் ஆனால் நான் சென்ற தூரத்தில் பாதிவரை தான் தாங்கள் வரவேண்டும் என்றது.
ஆமையின் அழகான பேச்சுக்கு மயங்கிய அகிலஸ் ஒப்பந்ததினை ஒப்புக்கொண்டார். ஆமையானது அகிலெஸிலிருந்து 2 மீட்டர் தொலைவில் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
ஒப்பந்தப்படி ஆரம்பத்தில் அகில்லெஸ் 1 மீட்டர் பயணம் செய்வதன் மூலம் இந்த தூரத்தை பாதியாக குறைக்கிறார்.
மேலும் 1/2 மீட்டர் பயணம் செய்வதன் மூலம் அவர் இந்த தூரத்தை மீண்டும் பாதியாக குறைக்கிறார். மீண்டும் பாதியாக்க இப்போது 1/4 மீட்டர் தூரத்தில் இருக்கிறார்.
இப்படியே இவர் பாதியாக்கி பாதியாக்கி பயணத்தினை தொடர்வார். இந்த செயல்முறை எல்லையற்றது. எனவே ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்குள் நீங்கள் உண்மையில் ஆமையை அடைய முடியாது என்று ஜீனோ வாதிட்டார். ஒவ்வொரு முறையும் பயணித்த தூரங்களின் எல்லையற்ற கூட்டுத்தொகையாக இந்தக் கருத்தை நாம் கணித ரீதியாக வெளிப்படுத்தலாம்: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 …
இப்போது, இது உண்மையில் ஒரு வடிவியல் தொடர்
இங்கு முதல் எண் a = 1 மற்றும்
பொதுவான விகிதம் r = 1/2.
எனவே நாம் ஒரு வடிவியல் தொடருக்கு எல்லையற்ற கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்
(இது ஜீனோவிற்குப் பிறகு சுமார் 2000 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு பெறப்பட்டது!):
கூட்டுத்தொகை = a/(1-r)
கூட்டுத்தொகை = 1/(1-0.5)
கூட்டுத்தொகை = 2
கூட்டுத்தொகை உண்மையில் ஒன்றிணைகிறது என்பதை இது காட்டுகிறது. எனவே அகில்லெஸ் உண்மையில் 2 மீட்டர் தொலைவில் இருந்த ஆமையை அடைவார். எவ்வாறாயினும், இங்கே ஏதோ ஒரு சாமர்த்தியம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
முடிவில்லாத கால அளவு கொடுக்கப்பட்டால், அகில்லெஸ் ஆமையை அடைவார். ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்குள் ஆமையை அடைவது கூறவேண்டுமானால் , தூரங்கள் எப்போதும் சிறியதாக இருப்பதால், அவற்றைக் கடக்க வேண்டிய நேரமும் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகிறது.
எனவே தூரம் 2 மீட்டராக மாறும்போது, எடுத்த நேரமும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக மாறும் என்று நாம் கூறலாம். கடைசி வரை மெய் மையியல் கோட்பாடு படி அகிலஸ் ஆமையினை ஒருபோதும் கடக்க மாட்டார். ஓடிக்கொண்டேதான் இருப்பார்.
ஒருபோதும் ஆமையினை அகிலஸினால் முந்த முடியாது. இருவரும் போட்டியினை முடிக்க மாட்டார்கள் என்பது தான் மெய்மையியல் உண்மை. ஆனால் இதுபோன்ற செயல்கள் பெரிய நிகழ்வுகளுக்கு தெரிந்த அளவுடன் வேண்டு மென்றால் இந்த வகையான மெய் மையியல் கருத்துக்களை நாம் பயன்படுத்தலாம் .
இதுபோன்ற தர்க்க நிகழ்வுகள் குழப்பங்களல்ல புதுவுலகை உருவாக்க புறப்பட்ட குதூகலங்கள்.
எந்தவொரு முரண்பாடும் அதன் முக்கியமான அனுமானங்களை போதுமான அளவு கைவிடுவதன் மூலம் விளக்கப்படுகின்றது. அப்படிப்பட்ட முரண்பாடுகளில் முக்கியமானது ஜீனோவின் முரண்பாடுகள். ஜீனோவின் முரண்பாடுகளின் நிலையான தீர்வில் நுண்கணிதத்தின் வளர்ச்சி மிக முக்கியமான படியாகும்.
நியூட்டனுக்கு லீப்னிஸுற்கும் அகிலஸ் ஆமை முரண் புதிரில் தூரங்கள் எப்போதும் சிறியதாக இருப்பதால், அவற்றைக் கடக்க வேண்டிய நேரமும் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகிறது என்ற கருத்து நுண்கணிதத்தினை தோற்றுவிக்க உறுதுணையாக இருந்தது.
அப்படி அவர் நுண்கணிதத்தினை சிந்திக்காமலிருந்தால் பொறியியலில் இவ்வளவு வளர்ச்சிகள் இருந்திருக்காது. ஆகவே இதுபோன்ற தர்க்க நிகழ்வுகள் குழப்பங்களல்ல புதுவுலகை உருவாக்க புறப்பட்ட குதூகலங்கள். எனவே நியூட்டனின் நுண்கணித கண்டுபிடிப்புக்கு பின்னால் எந்த அகிலஸ் ஆமையின் முரணுரை முதுகெலும்பாய் இருந்தது என்பது மறுக்கமுடியாது .
துணை நூல்கள்
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01929811/file/A_discrete_solution_for_the_paradox_of_A.pdf
https://slate.com/technology/2014/03/zenos-paradox-how-to-explain-the-solution-to-achilles-and-the-tortoise-to-a-child.html
https://gori70.medium.com/the-solution-of-the-paradox-of-achilles-and-the-tortoise-f618b23c25e
மேலும் தகவல்களுக்கு [email protected]
இப்பதிவு குறித்த தங்கள் கருத்துக்களை அவசியம் கீழே உள்ள Comment Boxல் பதிவிட வேண்டுகிறோம்.
புக் டே இணையதளத்திற்கு தங்களது புத்தக விமர்சனம், கட்டுரைகள் (அறிவியல், பொருளாதாரம், இலக்கியம்), கவிதைகள், சிறுகதை என அனைத்து படைப்புகளையும், எங்களது [email protected] மெயில் அனுப்பிட வேண்டுகிறோம்.
